圆周率π是数学中一个重要常数，其定义为圆周跟直径的长度比率，数值为3.14159...——它是个无理数，因此是个无限而不循环的小数。今天是3月14日，不少数学、科学爱好者会因为π的近似值是3.14，把这一天订为“圆周率日”（Pi Day）。

去年我写过π的一些特性，今年写写另一个问题︰π可以不等于3.14159...吗？这个问题看来奇怪，既然圆周率是个常数，数值自然不会改变，为何会有其他可能？

在1897年，美国印第安纳州议会差点通过的“π法案”（Indiana Pi Bill）。这是由一位业余数学家提出的法案，内容宣称能够“化圆为方”——古希腊几何学家一直希望能解决的难题︰给定一个圆形，用圆规和无刻度直尺画出相同面积的正方形。不过早于1882年，数学家林德曼（Ferdinand von Lindemann）已证明这不可能做到，“π法案”内提出的解答自然有错。

虽然“π法案”其实没有提及“π”本身，但内文其中一句提到“直径跟圆周之比为五分之四比四”，即指π = 4/1.25 = 3.2。幸好“π法案”最终未能通过，政治力量始终无法改变数学事实（当然，就算通过了也无改π的数值）。

不过我想说的其实不是“π法案”这类改变，而是π本身可不可能有其他数值。答案是可以的——如果采用“圆周跟直径的长度比率”这个定义，我就有方法“改变”π的数值。

首先，怎样画出一个圆形？很简单，在平面上先固定某个点，称为“圆心”，再画出其他跟圆心保持相同距离的点，那些点连起来就是一个圆形，这条曲线就是圆周。在圆形上其中一点画一条直线，穿过圆心抵达圆的另一边，这条线段就是直径。

如果用上笛卡尔坐标系，以原点(0,0)为圆心画出来的圆形，可以用以下方程式表示︰

其中r是半径长度。例如以原点为圆心、半径为2的圆形就是这样︰

为什么会是二次方？因为我们一般定义两点

这样定义距离的话，两点之间最短距离的线会是一条直线，因此这可算是最符合直觉的定义，也是大多数人初学解析几何时接触到的定义，这种距离称为“欧几里得距离”（Euclidean distance）。

不过数学家总是喜欢把定义推广，得出不同样子的“距离”，而“距离”的定义改变后，其空间亦相应改变。其中一种改变方式如下︰

其中p是一个大于1的数字，用两条直线代替括号，代表那是绝对值，确保不会得出负数。这类距离称为“p范数距离”（p-norm distance），又称“闵考斯基距离”（Minkowski distance）。当p=2的时候，这就是欧几里得距离。

由于“圆形”的定义建基于距离，当我们采用另一种方式定义距离时，所画出来的圆应也会相应改变，以下是一些例子︰

上图中蓝线上的点跟原点距离相等，但每个坐标中“距离”的定义都不一样。当p的值改变时，圆周长度亦会相应改变，但直径长度不变，所以其“圆周率”也会改变，记作πp。

而当p=1所得出的距离比较特别，粗略地说，在这种空间内量度两点的距离时，我们只能沿坐标的横线和直线量度，如下图中的红、蓝及黄色线，就像计程车只能跟马路行走，不能穿过大厦一样，因此这种距离又称作“计程车距离”。

此外，当p的数值越大时，相应的“圆形”看上去也越来越“胖”，到极限时就会变成以下样子︰

那么，圆周率会有什么变化呢？数学家CL Adler及James Tanton研究过这个问题，并制作以下列表︰

他们更证明了，当p是1或者无限大时，相应的圆周率数值为4，也是最大的数值，而当p=2的时候，π 不过这结果只限于p范数距离，如果我们采用其他方式定义距离，仍然可能得出更小的圆周率。

本文内容取材自数学节目《PBS Infinite Series》其中一集。

via https://www.thenewslens.com/article/91696